Fraktal

Fraktal - obiekt samopodobny


Fraktal (łac. fractus – złamany, cząstkowy, ułamkowy) w znaczeniu potocznym oznacza zwykle obiekt samopodobny (tzn. taki, którego części są podobne do całości) albo „nieskończenie złożony” (ukazujący coraz bardziej złożone detale w dowolnie wielkim powiększeniu). Ze względu na olbrzymią różnorodność przykładów matematycy obecnie unikają podawania ścisłej definicji i proponują określać fraktal jako zbiór, który posiada wszystkie poniższe charakterystyki albo przynajmniej ich większość.

  • - ma nietrywialną strukturę w każdej skali,
  • - struktura ta nie daje się łatwo opisać w języku tradycyjnej geometrii euklidesowej,
  • - jest samopodobny, jeśli nie w sensie dokładnym, to przybliżonym lub stochastycznym,
  • - jego wymiar Hausdorffa jest większy niż jego wymiar topologiczny,
  • - ma względnie prostą definicję rekurencyjną,
  • - ma naturalny („poszarpany”, „kłębiasty” itp.) wygląd.

Na przykład linia prosta na płaszczyźnie jest formalnie samopodobna, ale brak jej pozostałych cech i zwyczajowo nie uważa się jej za fraktal. Z drugiej strony, zbiór Mandelbrota ma wymiar Hausdorffa równy 2, taki sam jak jego wymiar topologiczny. Jednak pozostałe cechy wskazują, że jest to fraktal. Wiele fraktali ma niecałkowity wymiar Hausdorffa, co wyjaśnia etymologię tej nazwy.

Właściwości fraktali


Za jedną z cech charakterystycznych fraktala uważa się samopodobieństwo, to znaczy podobieństwo całości do jego części. Co więcej, zbiory fraktalne mogą być samoafiniczne, tj. część zbioru może być obrazem całości przez pewne przekształcenie afiniczne. Dla figur samopodobnych można określić wielkość zwaną wymiarem samopodobieństwa lub wymiarem pudełkowym. Są to wielkości będące uogólnieniem klasycznych definicji wymiaru.

Polski wkład w teorię fraktali

Piramida Sierpińskiego to fraktal będący przestrzenną wersją trójkąta stworzonego przez wybitnego polskiego matematyka. Punktem wyjścia do tworzenia trójkąta Sierpińskiego jest trójkąt równoboczny, którego każdy z boków dzielimy na dwie równe części. Punkty które otrzymujemy dzielą nam trójkąt na 4 mniejsze trójkąty równoboczne.  Teraz usuwamy odwrócony środkowy trójkąt,a dla pozostałych trzech powtarzamy tę samą procedurę. W efekcie kolejnych cykli powtórzeń otrzymamy figurę którą przedstawia rysunek poniżej. Czynność powtarzamy dowolną ilość razy dla poszczególnych trójkątów.




Piramida Sierpińskiego


 

Piramida Sierpińskiego

Konstrukcja

Przestrzennym odpowiednikiem trójkąta równobocznego jest czworościan foremny, jego ściany składają się z  trójkątów równobocznych. Tak jak w przypadku trójkąta Sierpińskego podzielmy każdą jego krawędź na dwie równe części. Następnie poprowadźmy przez środki krawędzi płaszczyzny by środki krawędzi schodziły się w jednym wierzchołku.

Piramida Sierpińskiego

Poziom 1

Powstały wewnątrz czworościanu wielościan foremny oczywiście nie jest czworościanem (posiada 6 wierzchołków), ale każda jego ściana jest trójkątem równobocznym. Teraz usuńmy ze środka ośmiościan foremny. Otrzymamy konstrukcję przedstawioną na powyższym rysunku.Przyjmijmy że jest to nasza Piramida Sierpińskiego poziomu 1.


Piramida Sierpińskiego

Poziom 2

Po usunięciu z czworościanu ośmiościanu otrzymamy układ czterech stykających się wierzchołkami czworościanów. Przeprowadźmy teraz kolejną iterację dla mniejszych czworościanów. Zauważmy, że każdy z czworościanów jest podobny do wyjściowego w skali 1:2.

Piramida Sierpińskiego

Poziom 3

Po wykonaniu dwóch kolejnych iteracji otrzymujemy figurę złożoną z 64 czworościanów.  Kontynuujmy operację  do woli dla kolejnych poziomów aż do nieskończoności. Otrzymane konstrukcje będą przedstawiały coraz bardziej ażurową konstrukcję Piramidy której pojemność zbliża się coraz bardziej do zera.


brak komentarzy

You have to ALBO register to post a comment .